CAGR: O que é, fórmula e significado

A taxa de crescimento anual composta de uma métrica ao longo do tempo é igual ao aumento (ou diminuição) médio anual dessa figura, composto a cada ano.

É o “composto” aqui que é fundamental. Essencialmente, o que o CAGR mostra é o retorno médio preciso que seria necessário a cada ano para que uma métrica — um investimento ou os lucros de uma empresa — vá do Nível A para o Nível B de maneira linear ao longo de um período de tempo.

A fórmula do CAGR é a seguinte:

Onde:

• VI – Valor Inicial
• VF – Valor Final
• N – Número de períodos

Um exemplo será útil aqui.

Um investidor quer entender qual crescimento ela precisa para que seu portfólio suba de US$100.000 para US$300.000 ao longo de uma década. Sua fórmula seria:

Isso se resume a 3^0.1 , ou, de outra forma, a raiz décima de 3. Nosso resultado aqui (como uma calculadora científica mostrará) é 11,6%.

Esse valor pode não ser intuitivo. Nosso investidor está visando um crescimento total de 200% ao longo do período de 10 anos — então por que a resposta não é 20% ao ano, ou 200% dividido por dez?

A resposta está na palavra-chave aqui: composto. Mais uma vez, sabemos que os ganhos estão sendo compostos ao longo do tempo. Nosso CAGR não vem da base inicial de US$100.000, mas sim da base criada a cada ano.

E, de fato, se listarmos nosso desempenho anual na taxa de crescimento anual composta de 11,6%, a matemática confirma:

• Ano 0/Valor Inicial: US$100.000
• Ano 1: US$111.612
• Ano 2: US$124.573
• Ano 3: US$139.039
• Ano 4: US$155.185
• Ano 5: US$173.205
• Ano 6: US$193.318
• Ano 7: US$215.767
• Ano 8: US$240.822
• Ano 9: US$268.787
• Ano 10/Valor Final: US$300.000

O Microsoft Excel não tem uma fórmula de CAGR padronizada. Mas podemos criar uma relativamente simples.

Vamos começar montando uma planilha que mostre o crescimento irregular do nosso portfólio ao longo do tempo, de US$100.000 para US$300.000:

Nossa fórmula de CAGR no Excel é baseada na fórmula matemática para CAGR. Estamos usando o valor final — US$300.000 — na célula B12; o valor inicial — US$100.000 — na célula B2; e o período de anos — 10 — na célula A10.

Lembre-se que nossa fórmula matemática é assim:

E assim, nossa fórmula no Excel fica assim:

=((B12/B2)^(1/A12))-1

Agora, podemos realmente adicionar um pouco de cor e detalhe aqui, criando uma calculadora para a taxa de crescimento anual composta para cada ano em nossa série:

Para fazer isso, vamos usar uma referência absoluta para o valor inicial de US$100.000 na célula B2. No Excel, uma referência absoluta é indicada por sinais de dólar ($) precedendo a letra e o número da célula.

E assim nossa fórmula começa no ano 1, e fica assim (observe os sinais de dólar em US$B$2):

=((B3/$B$2)^(1/A3))-1

A partir da primeira inserção da fórmula na célula C3, podemos copiar ou preencher até C12 e obter nosso resultado de CAGR para cada ano. (Infelizmente, nosso investidoro viu seu desempenho enfraquecer ao longo do tempo.)

Os exemplos usados até agora mostraram desempenho positivo. Mas o CAGR negativo pode e de fato existe. Se um portfólio ou lucros diminuem ao longo do tempo — se mostram crescimento geral negativo — então o CAGR por definição será negativo.

Obviamente, o CAGR negativo não é uma coisa boa, pela mesma razão que o crescimento negativo de qualquer tipo (com raras exceções) não é uma coisa boa. Nossa investidora não quer que seu portfólio se torne menos valioso. As empresas não querem que seus lucros declinem.

Há um detalhe matemático interessante a considerar em um CAGR negativo: o efeito de composição funciona ao contrário. Para números de crescimento positivos, usar a taxa de crescimento anual composta destaca aumentos de uma base continuamente maior.

Para usar um exemplo simplista, um portfólio de US$100.000 crescendo em um CAGR de 10% após cinco anos vale US$161.051. (Nossa base de US$100.000 multiplicada por 1,1 elevado à 5ª potência.) Cinco anos de crescimento de 10% composto criam um aumento total de pouco mais de 61%.

O mesmo portfólio encolhendo em um CAGR de 10% por cinco anos, no entanto, não está 61% para baixo. Os declínios de 10% vêm de uma base continuamente menor (US$90.000 no final do Ano 1, US$81.000 após o Ano 2, e assim por diante). Portanto, nosso portfólio neste modelo ‘só’ cai cerca de 41% ao longo dos cinco anos, para US$59.049.

CAGR não é a única taxa de crescimento anual à qual investidores e empresas se referem. Outra métrica, embora menos usada, é a AAGR, ou Taxa de Crescimento Anual Média.

A diferença entre CAGR e AAGR é a diferença nos acrônimos: o ‘C’ e o ‘A’. Novamente, o CAGR são os retornos compostos ao longo do período; a AAGR é o retorno anual médio ao longo do período.

Vamos voltar para o nosso exemplo anterior, no qual destacamos o crescimento de um portfólio de US$100.000 para US$300.000 ao longo de dez anos. Desta vez, calcularemos o crescimento ano a ano para cada ano individual:

Para calcular a AAGR, simplesmente tomaremos a média dessas dez taxas de crescimento anuais. Neste exemplo, nosso cálculo (26,00% + 13,49% + 11,19%, etc. dividido por dez) resulta em 11,79%.

A AAGR de 11,79% não é terrivelmente diferente do nosso CAGR de 11,61% no mesmo modelo. Mas esse é meio que o ponto. O CAGR deve mostrar qual seria o retorno anual médio se o retorno fosse o mesmo em todos os anos. Se a variação dos retornos reais — neste caso, de 0,95% a 26,00% — não for tão alta, então a diferença entre AAGR e CAGR não será tão grande.

Mas se a variação aumentar, então pode surgir uma diferença. Vamos imaginar novamente o portfólio de nossa investidora, que ainda cresce de US$100.000 para US$300.000 ao longo de dez anos — mas toma um caminho muito mais sinuoso para chegar lá:

Novamente, o CAGR de dez anos para o portfólio não muda. Permanece em 11,61%. O valor final, o valor inicial e o período de tempo são todos os mesmos.

Mas o desempenho ano a ano é bem diferente, variando de um aumento de 85% a um declínio de 21,48%. E, assim, a AAGR da nossa investidora agora é 15,42%, um valor notavelmente mais alto que o CAGR.

O que o CAGR faz aqui é suavizar os retornos, para que possamos ter uma noção do desempenho geral ao longo do período. O que a AAGR destaca é a média aritmética dos desempenhos individuais ano a ano.

Ambas as figuras têm seus méritos — mas como este exemplo mostra, as duas claramente não são intercambiáveis. A escolha entre CAGR e AAGR depende precisamente do que um investidor está tentando medir. O CAGR mostra o caminho direto do valor inicial ao valor final. A AAGR, em muitos casos, destaca a volatilidade ao longo do caminho.

A aritmética por trás do CAGR, dada sua relação com raízes enésimas e similares, geralmente não é do tipo que pode ser feita sem uma calculadora.

Mas há um atalho intrigante: a chamada ‘Regra do 72’.

A Regra do 72 pode ser usada para estimar o CAGR necessário para que um valor dobre ao longo de um período de tempo. A fórmula é bastante simples:

Novamente, a Regra do 72 é uma estimativa — mas geralmente é uma estimativa bastante boa. Um cálculo usando a Regra do 72 implicaria um CAGR necessário de 7,2% para dobrar o dinheiro em dez anos; o valor real é 7,18%. Para sete anos, a Regra do 72 sugere um retorno de 10,3%, contra 10,4% pelo cálculo correto.

A Regra do 72 só funciona quando se considera um valor final que é o dobro do valor inicial. E há algumas variações que oferecem respostas mais precisas. Mas para cálculos rápidos de CAGR, a Regra do 72 é uma regra bastante prática.